Soluciones de Ecuaciones diferenciales

6.1 Métodos de un paso MÉTODO NUMÉRICO UNIDAD 6 Los métodos de Euler. Una de las técnicas más simples para aproximar soluciones de ecuaciones diferenciales es conocida como Método de Euler o método de las tangentes. Supongamos que queremos aproximar la solución del problema de valores iniciales y ’ = f(x, y) para el cual y(x0) = y0. Si h es un incremento positivo sobre el eje x, entonces, como se muestra en la figura, podemos encontrar un punto Q(x1, y1) = (x0 + h, y1) sobre la tangente en P (x0, yo) a la curva solución desconocida. De la ecuación de una recta que pasa por un punto dado, tenemos:

 Si denotamos x0 + h por x1, entonces el punto Q(x1, y1) ubicado sobre la tangente es una aproximación del punto R(x1, y(x1)) que se encuentra sobre la curva solución. Esto es y1 ≈ y(x1).

Por supuesto, la exactitud de la aproximación depende mucho del tamaño del incremento h. Usualmente debemos elegir el tamaño de esta medida de modo que sea “razonablemente pequeña. Suponiendo que h tiene un valor uniforme (constante), podemos obtener una sucesión de puntos (x1,y1), (x2, y2), . . ., (xn, yn), que sean aproximaciones de los puntos (x1,y(x1)), (x2,y(x2)), . . ., (xn, y(xn)). Ahora bien, usando el valor de y2 que es la ordenada de un punto sobre una nueva “tangente”, tenemos:

 se conoce como Fórmula de Euler mejorada o Fórmula de Heun. 

6.2 Método de pasos múltiples

Los métodos de un paso descritos en las secciones anteriores utilizan información en un solo punto xi para predecir un valor de la variable dependiente yi+1 en un punto futuro xi+1. Procedimientos alternativos, llamados métodos multipaso, se basan en el conocimiento de que una vez empezado el cálculo, se tiene información valiosa de los puntos anteriores y esta a nuestra disposición. 

La curvatura de las líneas que conectan esos valores previos proporciona información con respecto a la trayectoria de la solución. Los métodos multipaso que exploraremos aprovechan esta información para resolver las EDO. Antes de describir las versiones de orden superior, presentaremos un método simple de segundo orden que sirve para demostrar las características generales de los procedimientos multipaso. 6.3 Sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias Un sistema de ecuaciones diferenciales es un conjunto de varias ecuaciones diferenciales con varias funciones incógnitas y un conjunto de condiciones de contorno. 

Una solución del mismo es un conjunto de funciones diferenciables que satisfacen todas y cada una de las ecuaciones del sistema. Según el tipo de ecuaciones diferenciales puede tenerse un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias o un sistema de ecuaciones en derivadas parciales. En un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias de cualquier orden, puede ser reducido a un sistema equivalente de primer orden, si se introducen nuevas variables y ecuaciones. Por esa razón en este artículo sólo se consideran sistemas de ecuaciones de primer orden. 

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