Diferenciación e integración numérica

 4.1 Diferenciación numérica

 Es una técnica que permite calcular una aproximación a la derivada de una función. Como el concepto original de la derivada de una función, esta aproximación se realiza alrededor de un punto utilizando los valores y propiedades que se conocen del cálculo diferencial de una variable. En este sentido será objeto de estudio la fórmula de diferencias finitas.

En las cuales podemos encontrar:

Diferencias finitas.

Diferencias finitas Cuando se habla en diferenciación numérica de diferencias finitas, se habla de la fórmula de diferencias finitas. Esta es una expresión matemática cuya forma es: f (x + b) – f (x +a) y su significado, igual al que conoce el estudiante de su curso de cálculo diferencial, un ejemplo fundamental, sería mencionar que la aproximación de las derivadas por diferencias finitas, el cual es el papel fundamental de la diferenciación numérica, juega un papel esencial dentro del análisis numérico para la resolución de problemas relacionados con ecuaciones diferenciales, entre otros.

Diferencias finitas anterior

Diferencias finitas posterior

Diferencias finitas centradas

4.2 Integración numérica

El concepto de integración numérica se relaciona mucho con el concepto de interpolación polinomial, tratado en el eje anterior. Es decir, en el eje anterior encontrábamos un polinomio de interpolación mediante la aplicación de un método conocido el cual permitía encontrar una función que contenía a un conjunto de puntos obtenidos experimentalmente. Ahora podemos evaluar alguna integral conocida en dicho polinomio y por ende aproximarla al valor real de la integral buscada. En otras palabras la integración numérica desea encontrar una solución aproximada de la integral

Fórmula de Newton-Cotes 

En la teoría del análisis numérico, las fórmulas de Newton-Cotes es un conjunto de fórmulas en el contexto de la integración numérica, cuyo objetivo es evaluar la función en puntos equidistantes pertenecientes a un intervalo del dominio de la función, y poder así encontrar un valor aproximado de la integral  

La idea básica de la fórmula de Newton-Cotes, es encontrar el valor aproximado de una integral reemplazando una función cuya estructura matemática es complicada de resolver por los métodos tradicionales del cálculo integral, y expresarla como un polinomio de interpolación, es decir:

Regla del trapecio La regla del trapecio constituye una fórmula cerrada de las fórmulas de Newton-Cotes, ya que involucra los dos valores o cotas [a,b] del intervalo donde se desea aproximar el valor de la integral. Por la definición anterior se tiene que:

 

4.3 Integración múltiple

4.4 Aplicaciones