Método de bisección


 ¿Que es el método de bisección?

En matemáticas, el método de bisección , también llamado dicotomía, es un algoritmo de raices que trabaja dividiendo el intervalo a la mitad y seleccionando el subintervalo que tiene la raíz.


Es el método más elemental y antiguo para determinar las raíces de una ecuación. Está basado directamente en el teorema de Bolzano explicado con anterioridad. Consiste en partir de un intervalo [x0,x1]tal que f(x0)f(x1) < 0, por lo que sabemos que existe, al menos, una raíz real. A partir de este punto se va reduciendo el intervalo sucesivamente hasta hacerlo tan pequeño como exija la precisión que hayamos decidido emplear.



El algoritmo empleado se esquematiza en la figura anterior inicialmente, es necesario suministrar al programa el número máximo de iteraciones MaxIter, la tolerancia $\delta$, que representa las cifras significativas con las que queremos obtener la solución y dos valores de la variable independiente, x0 y x1, tales que cumplan la relación f(x0)f(x1) < 0. Una vez que se comprueba que el intervalo de partida es adecuado, lo dividimos en dos subintervalos tales que $[x_{0}, \frac{x_{0} + x_{1}}{2}]$ y $[\frac{x_{0} + x_{1}}{2}, x_{1}]$ y determinamos en qué subintervalo se encuentra la raíz (comprobando de nuevo el producto de las funciones). Repetimos el proceso hasta alcanzar la convergencia (hasta que $\Delta \leq \delta$) o bien hasta que se excede el número de iteraciones permitidas (Iter > MaxIter), en cuyo caso es necesario imprimir un mensaje de error indicando que el método no converge.

Dos operaciones representadas en el esquema de la figura anterior requieren una explicación adicional:

  • El punto medio del intervalo se calcula como $x_{m} = x_{0} +\frac{(x_{1}-x_{0})}{2}$ en lugar de emplear $x_{m} =\frac{x_{0}+x_{1}}{2}$. Se sigue de este modo una estrategia general al efectuar cálculos numéricos que indica que es mejor calcular una cantidad añadiendo un pequeño término de corrección a una aproximación obtenida previamente. Por ejemplo, en un computador de precisión limitada, existen valores de x0 y x1 para los cuales xm calculado mediante $\frac{x_{0}+x_{1}}{2}$ se sale del intervalo [x0,x1].
  • La convergencia ($\Delta$) se calcula mediante la expresión $\Delta = \mathrm{ABS}((x_{1}-x_{0})/x_{1})$. De este modo, el término $\Delta$, representa el número de cifras significativas con las que obtenemos el resultado.


El método consiste en lo siguiente:

  • Debe existir seguridad sobre la continuidad de la función f(x) en el intervalo [a,b]
  • A continuación se verifica que 
  • Se calcula el punto medio m del intervalo [a,b] y se evalúa f(m) si ese valor es igual a cero, ya hemos encontrado la raíz buscada
  • En caso de que no lo sea, verificamos si f(m) tiene signo opuesto con f(a) o con f(b)
  • Se re define el intervalo [a, b] como [a, m] ó [m, b] según se haya determinado en cuál de estos intervalos ocurre un cambio de signo
  • Con este nuevo intervalo se continúa sucesivamente encerrando la solución en un intervalo cada vez más pequeño, hasta alcanzar la precisión deseada

El método de bisección es muy seguro para garantizar convergencia.  Si f es una función continua en el intervalo [a, b] y f(a)f(b) < 0, entonces este método converge a la raíz de f.

La bisección converge linealmente, por lo cual es un poco lento. Sin embargo, se garantiza la convergencia si f(a) y f(b) tienen distinto signo.

Si existieran más de una raíz en el intervalo entonces el método sigue siendo convergente pero no resulta tan fácil caracterizar hacia qué raíz converge el método.

Requisitos previos del método: 

El método como entrada requiere, un intervalo donde se encuentran las raíz en donde f(a) y f(b) tienen signos opuestos; también opcionalmente se puede incluir como parámetro un numero máximo de iteraciones para evitar un gran numero de iteraciones y por último opcionalmente una tolerancia de cercanía a la raíz o bien de aproximación.

Criterio de detención del método:

Caso 1: Cuando la p o (Xr) sea igual a cero o menor a la tolerancia (implementación opcional). Esto significa que el método ya ha encontrado la raíz de ese intervalo o un valor muy cercano a 0.

Caso 2 (Opcional): Si el método se pasa de el número total de iteraciones. Esto significa que el método no fue capaz de encontrar la raíz en el intervalo con el número de iteraciones dadas.

link de video de ejemplo: método de bisección

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